Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.
Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.
Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
М (Х ) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п. (7.1)
Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно.
Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним , так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.
Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.
Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.
Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х - числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х . Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда
Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х - числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:
| Х | … | п | … | ||
| р | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5) п | … |
+ (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ).
Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М (С ) = С. (7.2)
Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М (С ) = С ?1 = С .
2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:
М (СХ ) = С М (Х ). (7.3)
Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения
Тогда М (СХ ) = Сх 1 р 1 + Сх 2 р 2 + … + Сх п р п = С ( х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + х п р п ) = СМ (Х ).
Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы .
Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y , а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.
3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M (XY ) = M (X )M (Y ). (7.4)
Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:
Следовательно, M (XY ) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M (X )?M (Y ).
Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.
Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.
Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y ; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).
4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или незави-симых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M (X + Y ) = M (X ) + M (Y ). (7.5)
Доказательство.
Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведен-ными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являются х 1 + у 1 , х 1 + у 2 , х 2 + у 1 , х 2 + у 2 . Обозначим их вероятности соответственно как р 11 , р 12 , р 21 и р 22 . Найдем М (Х +Y ) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =
= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).
Докажем, что р 11 + р 22 = р 1 . Действительно, событие, состоящее в том, что X + Y примет значения х 1 + у 1 или х 1 + у 2 и вероятность которого равна р 11 + р 22 , совпадает с событием, заключающемся в том, что Х = х 1 (его вероятность - р 1). Аналогично дока-зывается, что p 21 + p 22 = р 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2 . Значит,
M (X + Y ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X ) + M (Y ).
Замечание . Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.
Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.
Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:
М (Х 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М (Х )=
Дисперсия .
Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y , заданные рядами распределения вида
| Х | |||
| р | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| p | 0,5 | 0,5 |
Найдем М (Х ) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М (Y ) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М (Х ) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М (Y ). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.
Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:
D (X ) = M (X - M (X ))². (7.6)
Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Следовательно,
Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.
Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.
Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:
Теорема 7.1. D (X ) = M (X ²) - M ²(X ). (7.7)
Доказательство.
Используя то, что М (Х ) - постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:
D (X ) = M (X - M (X ))² = M (X ² - 2X?M (X ) + M ²(X )) = M (X ²) - 2M (X )?M (X ) + M ²(X ) =
= M (X ²) - 2M ²(X ) + M ²(X ) = M (X ²) - M ²(X ), что и требовалось доказать.
Пример. Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y , рассмотренных в начале этого раздела. М (Х ) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
М (Y ) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайной величины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не зная законов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можем утверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время как для Y это отклонение весьма существенно.
Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D (C ) = 0. (7.8)
Доказательство. D (C ) = M ((C - M (C ))²) = M ((C - C )²) = M (0) = 0.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D (CX ) = C ²D (X ). (7.9)
Доказательство. D (CX ) = M ((CX - M (CX ))²) = M ((CX - CM (X ))²) = M (C ²(X - M (X ))²) =
= C ²D (X ).
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ). (7.10)
Доказательство. D (X + Y ) = M (X ² + 2XY + Y ²) - (M (X ) + M (Y ))² = M (X ²) + 2M (X )M (Y ) +
+ M (Y ²) - M ²(X ) - 2M (X )M (Y ) - M ²(Y ) = (M (X ²) - M ²(X )) + (M (Y ²) - M ²(Y )) = D (X ) + D (Y ).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.
4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X - Y ) = D (X ) + D (Y ). (7.11)
Доказательство. D (X - Y ) = D (X ) + D (-Y ) = D (X ) + (-1)²D (Y ) = D (X ) + D (X ).
Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно
Характеристики ДСВ и их свойства. Математическое ожидание, дисперсия, СКО
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.
С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Пример. Известен закон распределения дискретной случайной величины. Найти математическое ожидание.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение:
9.2 Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.
Пусть производится n независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X и Y: M(Х)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Решение:
9.3 Дисперсия дискретной случайной величины
Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.
Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.
Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.
Поэтому применяется другой способ.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания .
Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание М(Х) и квадрат математического ожидания М 2 (Х) – величины постоянные, можно записать:
Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины заданной законом распределения.
| Х | ||||
| Х 2 | ||||
| р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение: .
9.4 Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. .
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. .
Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.
9.5 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.
Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.
К числовым характеристикам с.в. относятся: математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков и т.д.
Математическое ожидание.
Пусть
– дискретная с.в., принимающая значения
с вероятностями
соответственно.
Математическим
ожиданием
(м.о.) или средним
значением
с.в.
называется число
(1.1)
в предположении, что этот ряд сходится абсолютно.
Если же ряд
расходится, то говорят, что с.в.
не имеет конечного м.о.
Если
,
то её м.о. определяется интегралом
(1.2)
при условии, что он сходится абсолютно.
Пусть
– дискретная с.в. с законом распределения
(2.1) (Тема: Скалярные случайные величины),
а
– функция этой с.в. Тогда закон
распределения с.в.
имеет вид табл. 7.1 (Тема: Скалярные
случайные величины). Согласно равенству
(1.1), м.о. случайной величины
определяется формулой
.
Если же
– непрерывная с.в. с плотностью вероятности
,
то, обобщая предыдущие рассуждения,
получаем формулу для м.о. случайной
величины
в виде
.
(1.3)
Пример 1.1. В денежной лотерее выпущено 200 билетов. Разыгрывается один выигрыш в размере 50 руб., два – по 25 руб., десять – по 1 руб. Найти среднюю величину выигрыша, если куплен один билет.
D
Согласно примеру 2.1 (Тема:
Скалярные случайные величины),
закон распределения с.в.
– выигрыша – имеет вид (2.2) (Тема: Скалярные
случайные величины).
По формуле (1.1) средняя величина выигрыша
Итак, средний выигрыш в лотерее равен 55 коп. ▲
Пример
1.2.
Плотность
распределения вероятностей с.в.
имеет вид
Найти
.
D
По формуле (1.3)
.
▲
Выясним основные свойства математического ожидания.
1 0 .
М.о. числа появлений события
в одном испытании равно вероятности
этого события.
2 0 .
М.о. постоянной неслучайной величины
равно
.
3 0 .
Постоянный неслучайный множитель
можно выносить за знак математического
ожидания.
4 0 .
Для любых случайных величин (зависимых
или независимых) м.о. суммы с.в.
и
равно сумме м.о. этих величин:
5 0 .
Для независимых случайных величин м.о.
произведения с.в.
и
равно произведению м.о. этих с.в., т.е.
Пример 1.3. Найти м.о. суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
D
Пусть
и
– число выпавших очков на первой и
второй кости соответственно. Дискретные
с.в.
и
принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с одинаковой
вероятностью
.
Тогда по формулам (1.4) и (1.1) искомое м.о.
Дисперсия.
М.о. характеризует
среднее значение с.в. Отклонением
с.в.
от своего математического ожидания
(среднего значения) называется с.в.
.
Часто величина
называется центрированной
с.в.
Дисперсией
или рассеянием
случайной величины
называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины
от её математического ожидания:
Корень квадратный
из дисперсии называется средним
квадратическим
(квадратичным
)
отклонением с.в.
и обозначается
,
так что
.
Для дискретной
с.в.
,
принимающей значения
с вероятностью
,
,
дисперсия определяется равенством
,
(2.2)
где
.
Для непрерывной
с.в.
дисперсия определяется равенством
,
(2.3)
если этот интеграл
существует. Здесь
– плотность вероятности с.в.
.
Из свойств м.о. и определения дисперсии имеем
Итак, для дискретной
с.в.
.
(2.4)
Для непрерывной
с.в.
равенство (2.4) имеет вид
.
(2.5)
Формулы (2.4) и (2.5) более удобны для вычисления дисперсии.
Замечание
.
Из определения дисперсии (2.1) с.в.
следует, что
.
Если дисперсия мала, то каждый член
суммы (2.2) тоже мал. Следовательно,
значение
,
при котором
велико, должно иметь малую вероятность.
Другими словами, при малой дисперсии
большие отклонения с.в.
от её м.о.
маловероятны. Равенство
означает, что
для тех значений
,
вероятность
которых равна нулю. Иначе говоря,
означает, что
с вероятностью, равной единице.
Пример
2.1.
Найти дисперсию с.в.
,
заданной законом распределения
вероятностей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D
Находим м.о.:
.
Так как закон распределения с.в.
имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то
,
и по формуле (2.4)
.
▲
Пример
2.2.
Найти дисперсию с.в.
,
функция распределения которой
D Находим плотность вероятности
По формуле (2.5) искомая дисперсия
.
▲
Установим свойства дисперсии.
1 0 . Дисперсия постоянной неслучайной величины равна нулю.
Действительно, .
2 0 .
Постоянный неслучайный множитель
можно выносить за знак дисперсии, возводя
его в квадрат:
.
В самом деле,
3 0 .
Дисперсия суммы или разности независимых
с.в.
и
равна сумме дисперсий этих величин:
.
D
Так как
и
независимые с.в., то
и, следовательно,
.
Итак, . Отсюда и из свойства 2 0 дисперсии получим
Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
Пример.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Решение: Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на их вероятности:
М (X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.
Для вычисления математического ожидания удобно расчеты проводить в Excel (в особенности когда данных много), предлагаем воспользоваться готовым шаблоном ().
Пример для самостоятельного решения (можете применить калькулятор).
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х).
Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М (Х1Х2 ...Хп)=М (X1) М {Х2)*. ..*М (Xn)
Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Хг + Х2+...+Хn) = М{Хг)+М(Х2)+…+М(Хn).
Задача 189. Найти математическое ожидание случайной вели чины Z, если известны математические ожидания X н Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Решение: Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим M(Z)=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M(X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Используя свойства мaтематического ожидания, доказать, что: а) М(Х - Y) = M(X)-М (Y); б) математическое ожидание отклонения X-M(Х) равно нулю.
191. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения: x1= 4 С вероятностью р1 = 0,5; xЗ = 6 С вероятностью P2 = 0,3 и x3 с вероятностью р3. Найти: x3 и р3, зная, что М(Х)=8.
192. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x1 = -1, х2 = 0, x3= 1 также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(Х) = 0,1, М(Х^2)=0,9. Найти вероятности p1, p2,p3 соответствующие возможным значениям xi
194. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.
196. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X-числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях по
явится по одному очку, если общее число бросаний
равно двадцати.
Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то
называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).
Для непрерывной сл. величины, заданной функцией плотности вероят-ности f(x), математическое ожидание определяется в виде интеграла
при условии, что этот интеграл существует (если интеграл расходится, то говорят, что математическое ожидание не существует).
Пример 1 . Определим математическое ожидание случайной величины распределённой по закону Пуассона . По определению
или обозначим
Значит, параметр , определяющий закон распределения пуассоновской случайной величины равен среднему значению этой величины.
Пример 2 . Для случайной величины, имеющей показательный закон распределения , математическое ожидание равно
(в интеграле пределы взять, с учётов того. что f (x) отлична от нуля только при положительных x).
Пример 3 . Случайнаявеличина, распределенная по закону распределения Коши , не имеет среднего значения. Действительно
Свойства математического ожидания .
Свойство 1 . Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.
Постоянная С принимает это значение с вероятностью единица и по определению М(С)=С×1=С
Свойство 2 . Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.
Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что
Под суммой двух дискретных сл. Величин понимается сл. Величина, которая принимает значения с вероятностями
По определению
где вероятность события , вычисленная при условии, что . В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события , поэтому равна полной вероятности появления события , т.е. . Аналогично . Окончательно имеем
Свойство 3 . Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
| У | … | |||||||
| Q | … | |||||||
| Х | … | |||||||
| Р | … | |||||||
Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.
Пусть Х и У независимы и имеют законы распределения
Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями равными, в силу независимости случайных величин, . Тогда
Следствие . Постоянныймножитель можно выносить за знак матема-тического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то по свойству 3. имеем
М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)
Пример . Если a и b постоянные, то М(ах+b)=аМ(х)+b.
Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний.
Пусть производится n независимых опытов, ве-роятность появления события в каждом из которых равна Р. Чис-ло появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно: Число появления события в n опытах состоит изчисла появлений события в отдельных опытах, т.е.
где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).
| Р | 1-р | р |
Поэтому
т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.
Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 20×0,1=2.